Matematika Sarang Lebah

Matematika Sarang Lebah

Anis Mulyani

152151122- C

IPK : 3,44

anismulyani16@gmail.com

085860833589

P

ernahkah kamu memerhatikan bentuk sarang lebah? struktur sarang lebah yang berbentuk heksagonal begitu terstruktur secara rapi Bahkan manusia tidak mampu membuat perancangan yang sempurna ini tanpa perhitungan geometris yang rumit akan tetapi lebah melakukannya dengan sangat mudah. padahal lebah belum mempelajari teori tessellations. Namun, beberapa pola perilaku mereka dapat dijelaskan secara matematis.

            Lebah menggunakan cara yang sangat menarik ketika membangun sarang. Mereka memulai membangun sel-sel tempat penyimpanan madu dari sudut-sudut yang berbeda, seterusnya hingga pada akhirnya mereka bertemu di tengah. Setelah pekerjaan usai, tidak nampak adanya ketidakserasian ataupun tambal sulam pada sel-sel tersebut.

 Struktur sarang lebah

            Struktur paling mencolok dalam desain sarang lebah adalah bentuk tiga belah ketupat sama sisi di bagian bawah sel heksagonal. Setiap sel dirancang sedemikian rupa agar dapat dihubungkan dengan tiga sel di sisi yang berlawanan. Struktur saling berhubungan ini memberikan ketahanan sarang lebah yang maksimal. Sama seperti dua besi baja di hubungkan dengan cara dilas satu sama lain.

            Para ilmuwan meneliti struktur sempurna sarang lebah ini memiliki perhitungan matematis mengagumkan yang dilakukan sedemikian rupa dan sangat kompleks. Ini adalah desain yang membutuhkan kejelian matematika paling rumit. Lebah menghitung besar sudut antara rongga satu dengan lainnya pada saat membangun rumahnya. Suatu rongga dengan rongga di belakangnya selalu dibangun dengan kemiringan tiga belas derajat dari bidang datar. Dengan begitu, kedua sisi rongga berada pada posisi miring ke atas. Kemiringan ini mencegah madu agar tidak mengalir keluar dan tumpah.

            Lalu kenapa bentuk hexagonal yang dipilih oleh lebah?

Lebah hidup berkoloni, sehingga membutuhkan sarang yang memuat banyak ruang, selain juga untuk menyimpan madunya. Bentuk segi enam dapat membentuk pola yang dapat disusun dengan saling menempelkan antar sisinya sehingga tidak menciptakan ruang sisa yang terbuang. Tidak seperti lingkaran atau segi lima misalnya yang tidak dapat disusun satu sama lain.

Lalu kenapa tidak segi empat atau segi tiga?
Pola segi empat dan segi tiga memang dapat disusun, tetapi bentuk penampang lebah adalah lingkaran, sehingga jika digunakan bentuk segi empat atau segi tiga untuk dimasuki lebah, maka akan banyak ruang yang terbuang di dalam rongga sarang tersebut. Maka solusi paling efektif dan efisien adalah menggunakan pola bentuk dengan jumlah sisi terbanyak yang dapat disusun. Dan bentuk ini adalah segi enam.
            Para ahli matematika menyebutkan untuk mendapatkan kapasitas ruang yang maksimal, penggunaan dinding berbentuk heksagonal ini meminimalkan jumlah bahan bangunan, karena memiliki keliling paling kecil dalam kapasitas yang sama. Singkatnya, suatu kantung heksagonal adalah bentuk terbaik untuk memperoleh kapasitas simpan terbesar, dengan bahan baku lilin dalam jumlah paling sedikit.

Perhatikan tabel dibawah ini

Pengukuran	Konstan pengukuran	Persegi	Segitiga	Heksagonal
Luas dan keliling		L = s2 K = 4 x s	L =  a.t K = 3S	L = 1/2a(6s) = 1/2a.K K = 6 x s
Luas	Luasnya konstan dan akan menjadi sekitar 36	Sisi = 6 L = 6 x 6 = 36	Sisi= 9 L = 1/2 x 9 x 7,79 = 35,05	Sisi= 3,6 luas = 1/2 x 3,2 x 21,6 = 36
Keliling		Sisi = 6 K = 4 x 6 = 24	Sisi = 9 K = 3 x 9 = 27	Sisi = 3,6 K=6 x 3,6=21,6	Jika luas yang sama dan kita membandingkan keliling  segi enam memiliki keliling paling kecil.
Area		Sisi = 3 L = 3 x 3 = 9	Sisi = 4 L = 1/2 x 4 x 2   = 4   = 6,9	Sisi= 4 L = 1/2 x 1  x 6 x 2 = 6  = 10,4	Jika keliling yang sama dan kita bandingkan luas, segi enam memiliki daerah terbesar
Keliling	Kelilingnya konstant dan akan menjadi sekitar  12	Sisi = 3 K = 4 x 3 = 12	Sisi = 4 K = 3 x 4 =12	Sisi = 4 L = 6 x 4 =12

            Dinding sarang lebah terdiri dari sel-sel yang 1/80 inci tebal, namun dapat mendukung 30 kali berat badan mereka sendiri. Sebuah sarang lebah dari 14,5 x 8.8 dapat menyimpan lebih dari lima pon madu. Itu juga menjelaskan mengapa mereka begitu berat. Lebah menciptakan prisma heksagonal dalam tiga bagian belah ketupat, dan dinding bertemu sel tepat pada sudut 120 derajat.
Fraktal Sarang Lebah

1.      Sisi

a.       Menentukan pola  U_n

U₁ = 6

U₂ = 24

U₃ = 42

U₄ = 60

Maka pola untuk  deret tersebut dengan a = 6 dan b = 18

U_n = a + (n - 1)b

= 6 + (n - 1)18

= 6 + 18n – 18

= 18n – 12

Pembuktian :

Un = 18n – 12

·         U₁ = 18(1) – 12 = 6            (terbukti)

·         U₂ = 18(2) – 12 = 24          (terbukti)

·         U₃ = 18(3) – 12 = 42          (terbukti)

·         U₄ = 18(4) – 12 = 60          (terbukti)

b.      Menentukan pola S_n

S_n  =  (a + U_n )

=   ( 6 + 18n – 12)

=  ( 18n – 6)

= 9 n² – 3n

Pembuktian :

Sn = 9 n2 – 3n

·                     S₁         = U₁   

9 (1)² – 3(1)  = 6

          6          = 6                             (Terbukti)

·                 S₂         = U₁ + U₂

9 (2)² – 3(2) =  6 + 24

          30        = 30                           (Terbukti)

·                 S₃         = U₁ + U₂ + U₃

9 (3)² – 3(3) = 6 + 24 + 42

          72        = 72                           (Terbukti)

·                 S₄         = U₁ + U₂ + U₃ + U4

9 (4)² – 3(4) = 6 + 24 + 42 + 60

          132      = 132                         (Terbukti)

2.      Keliling

Mencari keliling heksagonal sarang lebah sesuai dengan urutan deretnya.

a.       Menentukan pola U_n

U₁ = 6s

U₂ = 18s

U₃ = 30s

U₄ =  42s

Maka pola untuk  deret tersebut dengan a = 6s dan b = 12s

U_n = a + (n - 1)b

 = 6s + (n – 1) 12s

= 6s + (12.s.n) – 12s

=(12.s.n) – 6s

b.      Menentukan pola S_n

S_n  =  (a + U_n )

=   ( 6s + 12.s.n – 6s)

=   (12.s.n)

= 6.s.n²

3.      Luas

Rumus luas heksagonal secara umum yaitu :

L   =  . t . (6s)

     =   .(     . s ) . (k)

     =     . k . s

a.       Menentukan pola U_n

Maka untuk mendapat rumus U_n dari luas dapat dicari dengan hubungan antara rumus heksagonal secara umum dengan keliling.

U_n   =     .s.U_n(k)

=   .s.(12.s.n - 6s)

= 3   s².n -     . s²

= 3   s² ( n -  )

b.      Menentukan pola S_n

U₁ = a = 3   s² ( 1 -  ) =    s²

S_n =  (a + U_n )

=  [   s²+ 3   s² ( n -  )]

=  n.s² [  + ( n -  )]

=  n².s²

=  (n.s)²

keterangan : s = panjang sisi

k = keliling

U_n(k) = Urutan nilai berdasarkan Keliling

            Jadi, alasan lebah menggunakan heksagonal dalam pembuatan sarangannya karena bila menggunakan pola segi empat dan segi tiga penampang lebah adalah lingkaran, sehingga jika digunakan bentuk segi empat atau segi tiga untuk dimasuki lebah, maka akan banyak ruang yang terbuang di dalam rongga sarang tersebut. dan lebah memilih heksagonal karena mempunyai keliling yang paling minimal dengan luas yang maksimal.

Daftar Pustaka

Alistair Bird. (2015). Apiological mathematic. [online] tersedia :                        http://aperiodical.com/2015/01/apiological-mathematical-speculations-        about-  bees-part-1-honeycomb-geometry/ [ 8 Mei 2016]

N.N. (2010).  Honeycomb. [online] tersedia : http://id.wikipedia.org/wiki/honeycomb [ 15 Mei 2016 ]

Ardiansyah. (2015). keajaiban sarang lebah. [online] tersedia: http://www.ardiyans        yah.com/2015/05/keajaiban-lebah-madu-hewan-yang.html [ 25 Mei 2015 ]